确定性鸿沟：为何 LLM 猜测像素，而物理信息 图计算载荷

摘要：阳台悖论

建筑、工程与施工（AEC）行业目前正站在 一场技术分裂的悬崖上，这场分裂将定义我们建成 环境在未来一个世纪的安全轮廓。一边是生成式 AI 的诱人承诺——大语言模型（LLM）与多模态大语言模型（MLLM），它们 仿佛能「读懂」图纸、生成设计概念，并以近乎人类的流畅度谈论建筑 法规。另一边则是物理学那套严谨、不可更改的 现实。阳台并不会因为一段文本描述说它「坚固」就立得住，也不会因为 像素分析识别出栏杆的视觉存在就抵抗重力。它 只有在传力路径连续、应力分布维持在材料的弹性 限度之内，且结构拓扑满足控制用的微分 平衡方程式时，才会站得住。

本白皮书为 Veriprajna 撰写，探究以下两者之间的根本分歧： 以像素为基础的概率式 AI（当前这波生成式 AI）与 以结构为基础的 确定性 AI（Veriprajna 采用几何深度学习的方法）。我们探究 把欧几里得神经架构——例如视觉 Transformer——应用到结构工程之非欧几里得现实上的根本弱点。我们通过 对近期基准的严谨分析证明：多模态 LLM 尽管具有语言 专长，一旦被委以结构推理任务，仍容易生成危险的幻觉。它们 把图纸视为一组有待预测的像素；并不计算那些 像素所代表的载荷。

相比之下，我们提出一套完整框架，涵盖 几何深度学习（GDL） 与 物理信息神经网络（PINN）。此方法把工程 图纸转成的不是词元，而是数学图：节点充当结构 构件，边则充当传力路径。通过把物理定律直接嵌入 神经网络的损失函数，我们从「这安全吗？」的概率式猜测 走向「这撑得住吗？」的确定性计算。

行业面临一个关键问题，而 Veriprajna 以数学 确定性作答：你是建立在数学的基础上，还是概率的基础上？

1. 安全的幻觉：为何多模态 LLM 在结构推理上失败

大语言模型的迅速扩散，导致一种危险的混同：把 似真性 与 准确性 混为一谈。在创意写作或营销文案的领域，一个看似合理的 答案往往已足够。在结构工程中，一个看似合理但不正确的答案是 灾难性的。将 LLM 部署于结构分析的核心失败模式，在于其 架构：它们是设计来预测下一个词元或像素的概率引擎，而不是 设计来求解物理约束的逻辑引擎。

1.1 像素陷阱：视觉Transformer与 理解的错觉

当多模态 LLM（例如 GPT-4V 或 Gemini）「看见」结构图纸时，它并不 感知梁、柱或传力路径。它采用 视觉Transformer（ViT） 架构 来处理图像。ViT 把图像切成一序列固定尺寸的图块（例如 $16 \times 16$ 像素），展平成向量，再加以处理以最小化训练 损失。 ¹

关键的是，近期理论研究显示，ViT 是靠学习「图块 关联」——像素聚类之间的统计相关——来最小化这项损失，而非真正的空间 拓扑。 ¹ 模型可能学会：含有垂直线（柱）的图块 在统计上很可能与含有水平线（梁）的图块相邻。然而，这 是相关，不是因果理解。模型并不理解那条 水平线是被垂直线所 支承 的。若垂直线被移除，模型的 概率分布或许会略为偏移，但它没有内部物理引擎告诉它： 那条水平线现在必须落下。

这种「图块袋」方法解释了 LLM 为何在精确空间推理上困难。在 把图像像素或图块加以排列置换（打乱）的实验中，ViT 往往仍维持高 分类准确率，证明它们并非依赖对象严格的空间结构 而是依赖纹理与局部图案的存在。 ¹ 然而在工程中，空间 结构就是一切。一个「大致都在」却缺少关键传力 路径连续性的连接细部，并非 90% 安全；它是 100% 不安全。把图纸当成像素，LLM 从根本上错过了结构稳定性的二元本质。

特征	视觉Transformer（LLM）	工程现实
输入单元	像素图块（$16 \times 16$ 网格）	结构元件（梁、 柱）

关系	统计相关 （注意力）	物理因果（载荷 传递）
空间理解	位置嵌入 （学习而得）	拓扑连通性 （绝对）
失败模式	幻觉（看起来安全）	倒塌（确实不安全）
数据域	欧几里得（类网格）	非欧几里得（类图）

1.2 DSR-Bench 的判定：量化推理差距

LLM 在结构推理上困难的假设并非仅停留在理论；它已 得到经验验证。DSR-Bench（数据结构推理基准） 最近评估了十个最先进 LLM 的算法推理能力，涵盖 35 项运算与 4,140 个合成生成的问题实例。 ³ 结果令任何 LLM 工程支持者都感到警醒。

该基准旨在测试「结构推理」——理解并 操纵实体间复杂关系的能力，这是理解 建筑构架的直接代理。

●​ 性能上限： 表现最佳的前沿模型仅得到 0.498 （满分 1.0） 于涉及混合与组合结构的挑战实例。 ³

●​ 失败模式： 模型在 多跳推理 （经由多个中间节点追踪关系）与 约束满足 （遵守严格的用户自定义规则）上展现关键弱点。

●​ 空间无能： 在空间数据任务上——这些任务模仿现实世界物理结构的多维本质 ——性能随维度 升高而显著下降。 ³

最令人警惕的是，研究发现当问题以 「自然语言」描述、相较于形式化代码时，模型性能会退化。这表明 LLM 依赖 对特定句法结构的模式匹配（从 GitHub 这类训练数据中记忆而来） 而非真正进行推理。当工程师用白话描述一个独特、 非标准的结构问题时，LLM 被逼出记忆中的 模式，进入一种在统计上有 50% 时间会失败的推理模式。 ³

1.3 DesignQA 证据：无法验证需求

进一步证据来自 DesignQA，这是专门建构来评估 工程设计情境中 MLLM 的基准。 ⁴ 该研究聚焦于模型从文件提取 技术需求并将其应用到设计产物上的能力。

研究发现强化了「能力错觉」。MLLM 虽能流畅地摘要 建筑法规或工程标准的文本，却未能准确地把那些 定量约束应用到设计视觉上。

●​ 提取 vs. 应用： 模型能回答「允许的最大 挠度是多少？」（提取），却无法回答「这个特定梁设计是否符合 允许的最大挠度？」（应用）。 ⁴

●​ 猎奇偏差： 材料选用研究发现，LLM 对 「奇特」或高性能材料（如钛或碳纤维）有强烈偏差，即使 情境要求符合成本效益的方案，只因为那些材料在 「高科技」训练语料中频繁出现。 ⁵

这种偏向「听起来最优」但在情境上错误的答案，凸显了 幻觉风险。审查阳台设计的 LLM 可能建议高强度合金 栏杆——听起来非常专业——却未能注意到混凝土悬臂楼板 缺少上部钢筋，而那才是理论倒塌的真正原因。

1.4 确定性世界中的「随机鹦鹉」

根本问题是领域错配。结构工程是受物理定律支配的 确定性 领域。若 $\sum F_y \neq 0$，结构便会加速。此处 不涉及任何概率。LLM 是 随机 引擎。它们依据下一个词元的 概率分布生成文本。

当我们问 LLM「这个阳台安全吗？」，它并不是在计算惯性矩。它是在 预测训练数据中通常接在该问题之后的token。若其训练数据 含有数千份以「结构看来健全」作结的安全检查报告， LLM 在统计上就偏向生成类似的安抚之词，不论它正在分析的特定像素图块中的视觉 证据为何。它是依据像素的「氛围」在猜测， 而不是依据载荷的微积分。

2. 几何深度学习：Veriprajna 的数学 基础

为超越像素猜测的限制，Veriprajna 建立在 几何深度 学习（GDL） 之上。这一人工智能领域把神经网络推广到 非欧几里得域，特别是图与流形。 ⁶ 在我们的框架中，建筑物不是 图像；它是一个 图。

2.1 结构的非欧几里得现实

标准深度学习（CNNS）操作于 欧几里得数据。图像是 2D 网格；音频是 1D 网格（时间）。在欧几里得空间中，「方向」与「邻居」的概念是固定的。位于 $(x,y)$ 的像素始终恰好有 8 个相邻者（除非位于边缘），且位移从 $(x,y)$ 到 $(x+1, y)$ 在各处皆均匀。 ⁷

结构本质上是 非欧几里得 的。

●​ 不规则拓扑： 桁架中的一个钢节点可能连到 3 个构件；一个节点在 复杂斜交网格中可能连到 8 个。没有固定的「网格。」

●​ 没有固定方位： 梁由其连通性定义，而非它在位图中的位置。

把图纸旋转 90 度会改变每一个像素值，从而击垮标准 CNN，但 底层的图（构件之间的连接）保持不变。 ⁷

Veriprajna 采用 图神经网络（GNN），因为它们在数学上 就是为处理这种不规则性而设计。GNN 不把结构硬塞进网格；它接受 结构作为一组节点（$V$）与边（$E$），以其原生拓扑格式呈现。 ⁶

2.2 建筑图的数学定义

在 Veriprajna 系统中，结构模型被形式化为一个图 $G = (V, E)$。

节点（$V$）：每个节点代表一个实体结构构件（梁、柱、楼板、 墙）。与只含色彩数据（RGB）的像素不同，Veriprajna 节点是丰富的数据 容器，持有特征向量 $\mathbf{x}_v$：

$$\mathbf{x}_v =$$

这些特征捕捉杨氏模量（$E$）、惯性矩（$I$）与屈服 强度（$f_y$）——计算所需的实际物理参数。10 边（$E$）：每条边代表实体连接或相互作用。一条边 $e_{ij}$ 存在，若构件 $i$ 把载荷传给构件 $j$。边特征向量 $\mathbf{x}_{e_{ij}}$ 捕捉节点刚度（刚接 vs. 铰接）与相对 方位。

$$\mathbf{x}_{e_{ij}} =$$

此表示具有 排列不变性。建筑物的物理并不改变，若 我们在数据库中重排梁的清单。GNN 尊重此不变性，而 序列模型（如 LLM 中的 Transformer）则对输入顺序敏感。 ⁷

2.3 图卷积与消息传递

Veriprajna 推理的引擎是 消息传递神经网络（MPNN） 典范。在 GNN 中，信息在图中流动的方式，类似于力在 结构中流动的方式。

对每一层 $l$ 的 GNN，节点的状态 $\mathbf{h}_v^{(l)}$ 通过更新 聚合来自其邻居的「消息」 $\mathcal{N}(v)$：

$$\mathbf{h}_v^{(l+1)} = \phi^{(l)} \left( \mathbf{h}_v^{(l)}, \bigoplus_{u \in \mathcal{N}(v)} \psi^{(l)} \left( \mathbf{h}_u^{(l)}, \mathbf{h}_v^{(l)}, \mathbf{e}_{uv} \right) \right)$$

●​ $\psi^{(l)}$： 消息函数。以结构术语言之，这计算该力／弯矩 由邻居传递 $u$ 到节点 $v$。

●​ $\bigoplus$： 聚合函数（例如求和）。这加总所有作用中的力 于节点 $v$ 来自所有相连构件。

●​ $\phi^{(l)}$： 更新函数。这计算新状态（例如位移或 应力）于节点 $v$ 依据总输入力。

通过堆叠 $k$ 层 GNN，网络把信息传播到 $k$-跳之外。一个 10 层 GNN 让施加于屋顶（节点 A）的载荷能在数学上影响 基础（节点 Z）的状态，模仿实际物理 结构的全局传力路径分布。 ⁶

这不是视觉猜测。这是对传力路径可学习、可微的模拟。

3. 从 BIM 到图：Veriprajna 数据管道

从静态 BIM 模型或 2D 图纸过渡到动态计算图，是 Veriprajna 的核心技术差异点。LLM 试图读取图纸的「图像」， 我们的管道则提取模式的「逻辑」。

3.1 面向 BIM 的图表示学习

建筑信息模型（BIM）数据通常为 IFC 格式，含有必要 信息，却是层次化、面向对象的格式，不适于直接机器 学习。Veriprajna 采用 图表示学习 工作流程来转换这些 数据。 ¹⁰

步骤 1：拓扑提取 我们利用 IFC-to-BIMGraph 转换器解析 IFC 模式。它识别 诸如 IfcRelConnectsElements（实体连接）与 IfcRelContainedInSpatialStructure（空间层次）这类关系。这些关系被直接映射到 我们图的边上。与难以「看见」两条线是否相触的 LLM 不同，IFC 模式明确定义此连通性，而我们的解析器以 100% 保真度捕捉它。12

步骤 2：多模态节点嵌入 结构构件同时具有语义描述（「IPE 300 钢梁」）与几何 性质（3D 网格）。我们把这些模态融合进节点的特征向量 10：

●​ 语义嵌入： 我们使用大型文本嵌入模型（或专门本体， 如 pyRDF2Vec）把文本元数据转成高维向量。这 让模型能在数学上理解「IPE 300」与「HEB 300」相似 （同为钢截面）但在承载力上有别。 ¹³

●​ 几何嵌入： 我们采用点云编码器（如 PointNet）把 元件的 3D 几何编码成向量。这捕捉文本 无法描述的复杂形状。

步骤 3：降维 为确保处理效率，我们应用 t-SNE（t 分布随机 邻域嵌入）这类算法，把高维特征向量缩成紧凑 表示，保留关键变异且不过度拟合。¹³

3.2 自动化结构模型生成

此管道的最终输出不是文本描述，而是结构用的 输入文件 分析。研究已证明，GNN 可经监督式学习加以训练，以 把 BIM 实体直接映射到有限元（FE）参数。 ¹³

●​ 预测： GNN 预测所需的刚度参数（$EI, EA$）针对每个 节点，依据其嵌入。

●​ 建构： 系统自动生成节点与元素定义，供 OpenSees 或 SAP2000 这类求解器使用。

此过程自动化「载荷传递」准备。工程师不必手动 测量从属面积并重绘构架，Veriprajna GNN 遍历该图， 聚合楼板节点的面积属性，将其传到梁节点，并编制 载荷矩阵。 ¹³

4. 物理信息神经网络（PINN）：确定性的 引擎

工程中对 AI 最重大的批评是「黑箱」问题。我们如何能 把人命安全托付给神经网络？Veriprajna 以 物理信息 神经网络（PINN） 作答。我们不要求 AI 从数据中学习物理；我们教导 AI 物理，方法是把微分方程式直接嵌入其「大脑」。

4.1 把控制方程式嵌入损失函数

在标准神经网络中，训练目标是最小化预测 与真实数据之间的误差（$\mathcal{L}_{data}$）。在 PINN 中，我们加入 物理残差

（$\mathcal{L}_{PDE}$）加入损失函数。 ¹⁴

考虑支配阳台的欧拉－伯努利梁方程式：

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( EI \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right) + q(x) = 0$$

其中 $w$ 为挠度，而 $q(x)$ 为载荷。 训练 Veriprajna 模型时，损失函数定义为：

$$\mathcal{L}_{total} = \mathcal{L}_{data} + \lambda \cdot \mathcal{L}_{PDE}$$

$$\mathcal{L}_{PDE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \left| \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( EI \frac{\partial^2 \hat{w}}{\partial x^2} \right) + q(x_i) \right|^2$$

此处， $\hat{w}$ 是网络预测的挠度。我们使用 自动微分 来 精确计算预测的导数。若网络预测的挠度形状 违反静力平衡定律，该 $\mathcal{L}_{PDE}$ 项便会飙升，迫使 网络自我修正。 ¹⁴

4.2 案例研究：意大利面桥及其后

此方法的效力已在近期实验中得到证明，例如对 意大利面桥承载力的预测。 ¹⁴ 一个 物理信息柯尔莫哥洛夫－阿诺德网络 (PIKAN) 被用来预测破坏载荷。通过把物理约束整合于 桥梁几何与材料限度，模型能够准确预测重量限度，即使 数据稀疏。

在更复杂的情境中，例如承受动态载荷的铁路桥，PINN 已 成功用于识别影响线并预测结构反应，而传统 纯数据机器学习模型未能收敛。 ¹⁵ PINN 充当 正则化器，确保 AI 的「想像」永不违反牛顿定律。

4.3 图结构物理信息 DeepONet

Veriprajna 运用此领域的最前沿：图结构物理信息 DeepONet（GS-PI-DeepONet）。 ¹⁷

●​ DeepONet（深度算子网络）： 设计来学习 算子 （无限维函数空间之间的映射）而不只是函数的神经网络。它 能学习把「载荷分布函数」映射到「挠度 函数」的算子。

●​ 图结构： 它把此算子学习应用在非结构化图（网格）上， 使其能处理复杂、不规则建筑几何，而标准 CNN 无法 触及。

此架构已展现 7–8 倍加速，相较于传统有限元法 （FEM）求解器，同时维持 $R^2$ 高达 0.9999 的精度值。 ¹⁷ 这意味着 Veriprajna 提供 AI 的速度与 FEM 的精度。

5. 自动化传力路径追踪：「脊柱」之于 结构

在「阳台」例子中，关键失效往往是传力路径的间断——载荷施加于 悬臂，却没有后跨或抗弯连接把它传到 柱。LLM 看见像素；Veriprajna 看见 主传力路径。

5.1 以矩阵为基础的路径寻找以提升韧性

Veriprajna 采用严谨的图论算法来追踪传力路径。结构被 表示为 邻接矩阵 $A$。

●​ 连通性分析： 通过把邻接矩阵升到幂（$A^n$），我们可以 识别载荷施加点与基础之间所有长度为 $n$ 的路径。 ¹⁸

●​ 穷举路径列举： 我们利用以矩阵为基础的穷举路径寻找器， 识别载荷传递的 所有 可行路径。这让我们能量化结构的 冗余 。若只存在一条路径（静定系统），该结构 冗余为零且风险高。 ¹⁹

5.2 U 指数：可视化载荷传递*

为给工程师直观洞察，我们计算 U 指数 *，此度量表达 点与点之间的内部应变能传递与相对刚度。 ²⁰

●​ 主传力路径（PLP）： 定义为 U* 等值线的「脊线」——穿过结构的最刚 路径。

●​ 流线可视化： 使用 龙格－库塔（RK4） 算法，我们可以积分 U* 指数的 梯度，绘制力的「流线」。 ²⁰

这生成一种可视化，让建筑物的「脊柱」亮起。若阳台安全， PLP 流线会从栏杆无缝连到柱。若不安全（例如 「悬空」悬臂），流线会突然终止，或显示巨大发散于 应变能。这是源自数学的视觉诊断，而非源自视觉幻觉 于训练图像。

5.3 失效传播与割集

当前图论方法也让我们能模拟连续倒塌。通过系统性地 移除节点（模拟柱失效）并重新评估图的连通性（使用 中介中心性或效率这类度量），我们可以识别割集——关键聚类 其失效会把图分裂成不连通分量的构件。21 此「图攻击」模拟在计算上是即时的，相较于重跑非线性 FEM 倒塌分析，让 Veriprajna 能筛选数千种失效情境于 即时。21

6. 企业应用：「验证器」层

对企业客户——大型工程事务所、政府监管者、房地产 开发商——Veriprajna 提供特定部署模型。我们的目标不是取代 工程师；我们的目标是取代 AI 采用中的 不确定性。

6.1 「人在环路」工作流程

设计的未来涉及生成式 AI，但需要 验证器层。

1.​ 生成层（概率）： 建筑师使用 Midjourney 或 MLLM 这类工具来 生成创意概念（「给我一个带参数化栏杆的悬臂阳台」）。 这是概率的领域。

2.​ Veriprajna 层（确定性）：

○​ 概念被解析成 BIM 图。

○​ 拓扑检查： 图是否连通？（DFS/BFS 算法）。

○​ 传力路径检查： 主传力路径是否到达基础？（U* 指数）。

○​ 物理检查： PINN 预测的应力是否满足 $\sigma < f_y$？（PDE 损失）。

3.​ 反馈： 若物理检查失败，Veriprajna 向生成模型回传 硬约束 （「把梁深增加 200mm」或「加入后跨连接」）， 迫使生成在物理上有效的再生成。 ⁵

6.2 数据效率与安全

GNN/PINN 方法的一大优势是 数据效率。LLM 需要数 PB 的 训练数据（整个互联网）才能学会建筑物「看起来」如何的「氛围」。PINN 因受物理方程式约束，可以在 小数据 上训练。 ¹⁴

●​ 泛化： 在钢构架数据集上训练的 GNN，能很好地泛化到 新的 钢 构架，因为底层物理（虎克定律）并不改变。

●​ 隐私： 因为模型较小且专门，它们可以 本地 部署。客户不必把敏感知识产权（核电厂或 数据中心的图纸）送到 OpenAI 这类公开 API。「物理引擎」住在你的服务器上。

6.3 可解释性：「玻璃箱」

因为图神经网络操作于与物理对象 1:1 映射的节点上，它们 本质上可解释。

●​ 注意力权重： 我们可以可视化 GNN 注意力权重，以确切看见是 哪些 邻居影响了某节点的失效预测。

●​ 可追溯性：「该柱失效，因为从梁 A 与梁 B 传来的载荷 超过了承载力。」 ​

这是 AI 的玻璃箱，与 LLM 的「黑箱」形成鲜明对比：后者的 推理隐藏在数十亿个无法解释的参数中。23

7. 比较分析：Veriprajna 的优势

能力	标准多模态 LLM	Veriprajna（GDL/PINN）
核心操作	下一词元预测	消息传递（力 传递）
上下文窗口	有限词元（易遗忘）	无限图连通性
安全保证	「看起来安全」 （幻觉）	「物理残差大致为 0」（已验证）
传力路径	视觉估计（猜测）	图遍历（算法）
约束处理	软性（经常被忽略）	硬性（损失 函数中的 PDE）
可解释性	黑箱	玻璃箱（节点层级 注意力）
训练数据	互联网（有偏／嘈杂）	物理方程式＋ 结构化数据

8. 结论：数学的基础

建筑行业是独特的。在软件中，「bug」是烦恼。在我们的行业中， 「bug」是悲剧。围绕生成式 AI 的炒作周期掩盖了这项根本 区别，承诺一个 AI「想像」我们城市的未来。

Veriprajna 拒绝工程验证应当富于想像的前提。我们 主张工程验证必须是 确定性 的。「阳台悖论」的化解 不是靠训练更好的图像识别器，而是彻底抛弃图像、改用 图。

●​ ChatGPT 说阳台安全，因为它看过数千张阳台照片， 而在那些照片中，地板的像素通常停留在地面像素之上。

●​ 物理 说阳台会倒塌，因为固定端的弯矩 超过了截面的抗弯承载力（$\sum M > M_{cap}$）。

Veriprajna 是让你能倾听物理的平台。我们建立在 图论、几何深度学习与微分方程式的基础上。我们不猜测像素。 我们计算载荷。

你是建立在数学的基础上，还是概率的基础上？

研究数据与引用

●​ LLM 限制： ³ （DSR-Bench 结构推理失败） ⁴ （DesignQA 需求 验证失败） ¹ （ViT 图块关联 vs 拓扑） ⁵ （Autodesk 生成式 AI 基准） ² （ViT 架构）。

●​ 几何深度学习基础： ⁶ （GDL 定义） ⁹ （GNN 记法与数学） ⁷ （欧几里得 vs 非欧几里得） ²⁵ （GNN 泛化） ⁸ （Altair PhysicsAI 与 GDL）。

●​ 数据管道： ¹⁰ （BIM 图表示） ¹³ （语义嵌入与 ANN） ¹² （IFC-to-BIMGraph） ²⁶ （GraphRAG 与本体）。

●​ 物理信息神经网络： ¹⁴ （桥梁重量／PIKAN 的 PINN） ¹⁵ （PINN 综述 与铁路桥） ¹⁷ （图结构 DeepONet） ¹⁶ （框架的 PINN）。

●​ 传力路径与韧性： ¹⁹ （矩阵路径寻找） ²¹ （管道失效的图论） ¹⁸ （邻接矩阵幂） ²⁰ （U* 指数与传力路径） ²⁰ （主传力路径 可视化）。

●​ 一般背景： ²⁷ （生成式图纸挑战） ²⁸ （AI 伦理与偏差） ²² （生成式 vs. 非生成式模型）。

参考文献

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2. Vision Transformers (ViT) Tutorial: Architecture and Code Examples - DataCamp, 2025年12月12日访问, https://www.datacamp.com/tutorial/vision-transformers

3. Can LLMs Reason Structurally? An Evaluation via the Lens of Data ..., 2025年12月12日访问, https://arxiv.org/pdf/2505.24069

4. DesignQA: A Multimodal Benchmark for Evaluating Large Language Models' Understanding of Engineering Documentation - arXiv, 2025年12月12日访问, https://arxiv.org/html/2404.07917v1

5. Safer by Design: Benchmarks for Generative AI - Autodesk Research, 2025年12月12日访问, https://www.research.autodesk.com/blog/safer-by-design-benchmarks-for-generative-ai/

6. Geometric Deep Learning — AI Search Algorithms for Smart Mobility, 2025年12月12日访问, https://smartmobilityalgorithms.github.io/book/content/LearnToSearch/GeometricDeepLearning.html

7. A gentle introduction to Geometric Deep Learning - dataroots, 2025年12月12日访问, https://dataroots.io/blog/a-gentle-introduction-to-geometric

8. Geometric Deep Learning, Altair® physicsAI™, and the Next Era of AI-Powered Engineering, 2025年12月12日访问, https://altair.com/blog/executive-insights/geometric-deep-learning-ai-engineering-altair-physicsai

9. AIDA-01-Intro to geometric deep learning, 2025年12月12日访问, https://www.i-aida.org/wp-content/uploads/2022/07/AIDA-Geometric-deep-learning-part-01.pdf

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